ΙΣΟΔΥΝΑΜΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΣΕ ΑΠΛΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΔΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΤΩΝ
Σε ένα κλειστό κύκλωμα μπορούμε να συνδέσουμε αντιστάσεις με διάφορους τρόπους. Οι αντιστάσεις αυτές μπορούν να αντικατασταθούν από μια αντίσταση η οποία επιφέρει στο κύκλωμα το ίδιο αποτέλεσμα ,δηλαδή περνά από την πηγή ρεύμα ίδιας έντασης .Η διαδικασία αντικατάστασης όλων των αντιστάσεων αυτών, ονομάζεται σύνθεση αντιστάσεων και η αντίσταση που τις αντικαθιστά ισοδύναμη αντίσταση Req.

Α. ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ
Δύο η περισσότερες αντιστάσεις είναι σε σειρά , όταν διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα .Δηλαδή στο τέλος της μιάς ,ακολουθεί η αρχή της άλλης, χωρίς να παρεμβάλλεται τίποτα άλλο ανάμεσα τους .

Στο παραπάνω σχήμα έχουμε Ν αντιστάσεις σε σειρά ,στα άκρα των οποίων εφαρμόζουμε τάση VΚΛ (πολική),ενώ τα καλώδια θεωρούμε ότι είναι μηδενικής αντίστασης.
Ισχύει   VA-VB=iR1
             VΒ-VΓ=iR2
             ………………
            VΕ-VΖ=iRΝ
Αθρόιζοντας έχουμε, VA-VB+VB-VΓ+VΓ……….-VE+VE-VZ=iR1+iR2+…+iRN ή
 VA-VZ= i(R1+R2+…+RN) (1)

Έαν τωρα στο τμήμα ΑΖ θεωρήσουμε μια αντίσταση Req ,που όταν εφαρμόσουμε στα άκρα της την ίδια τάση VΚΛ ,θα διαρρέει την πηγή το ίδιο ρεύμα i ,θα έχουμε VΑ-VZ=iReq(2)
από (1),(2) είναι προφανές ότι
Req=R1+R2+…+RN ή Req=ΣRj από j=1 εως Ν
Επίσης ισχύει ότι
VK-VΛ=VA-VZ= VA+[ -VB+VB-VΓ+VΓ……….-VE+VE ] –VZ= VAB+VΒΓ+…VEZ ή
VKΛ=VAZ= VAB+VΒΓ+…VEZ
και i=VKΛ/ΣRj

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1
Δύο αντιστάτες R1 = 10Ω και R2 = 20Ω συνδέονται σε σειρά και στα άκρα του συστήματος εφαρμόζεται τάση V = 60V. Να βρείτε:

1.1. Την ισοδύναμη αντίσταση του συστήματος των 2 αντιστατών.

Σχεδιάζουμε το ισοδύναμο κύκλωμα και το ρεύμα πουτο διαρρέει ,αφου οι αντιστάσεις είναι σε σειρά θα έχουμε Req=ΣRj , j=1 έως 2 ή Req=R1+R2=30Ω

1.2 Την ένταση του ρεύματος που διαρρέει κάθε αντιστάτη.

Το ρεύμα είναι ίδιο , V=iReq ή i=V/Req ή i=2A

1.3. Την τάση στα άκρα κάθε αντιστάτη.

VR1=iR1=2.10=20V και VR2=iR2=2.20=40V

1.4. Πόσο φορτίο πέρασε από την R1 σε 1ns; σε πόσα ηλεκτρόνια αντιστοιχει;

Είναι i=q/Δt ή q=iΔt ή q=2.10-9C και q=Ne|e| ή Ne=q/|e| ή Νe=2.10-9/1,6.10-19 =1,25.1010 = 125.108 ηλεκτρόνια

Β. ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝΔΕΣΗ
Ένα σύνολο αντιστάσεων είναι συνδεδεμένες παράλληλα, όταν έχουν κοινά ακρα ,αυτό σημαινεί αυτοματα ότι θα έχουν και την ίδια τάση στα άκρα τους.
Εστω Ν αντιστάσεις R1,R2,..,RN οι οποιες συνδεόνται ώστε να εχουν κοινα ακρα Ζ,Μ στα οποια εφαρμόζουμε τάση VAB

Από τον 1ο Κανόνα του Κirchhoff ,άμεση συνέπεια διατήρησης του φορτιου,
στον κόμβο Z έχουμε.
Σi=0 ή i-i1-i2-…-iN=0 ή i=i1+i2+…iΝ ή
i=VZM/R1 + VZM/R2 + … + VZM/RN ή
i=VZM( 1/R1+1/R2+…+1/RN) ή
i=VZMΣRj-1 με j=1 έως Ν και VΖΜ=VAB (1)

εάν αντικαταστήσουμε όλες τις αντιστάσεις, με μία Req ,η οποία
να διαρρέεται από το ιδιο ρεύμα i ,που περνάει από την πηγή
θα ισχυει i=VZM/Req ή i=VZMReq-1 (2)
ετσι προκυπτει ότι από (1) ,(2) ότι
Req-1=ΣRj-1 ή Req=(ΣRj-1)-1
Αναπτύσσοντας
1/Req= 1/R1 + 1/R2 +…+1/RN ή
Req=( 1/R1 + 1/R2 +…+1/RN )-1
Καταληκτικά πρέπει να αναφέρουμε ότι 1/R εκφραζει
την αγωγιμότητα ενός αγωγου.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2

Τρείς αντιστάτες R1 = 2Ω, R2 = 3Ω και R3 = 6Ω συνδέονται παράλληλα και στα άκρα τους εφαρμόζεται τάση V = 12Volt.

2.1. Υπολογίστε την ισοδύναμη αντίσταση. 

Σχεδιάζουμε τις εντάσεις των ρευμάτων στο κύκλωμα  είναι
Req=( 1/R1 + 1/R2 +1/R3 )-1 ή
Req=( 1/2 + 1/3 +1/6 )-1 ή
Req=( 1/2 + 1/3 +1/6 )-1 = (6/6)-1=1Ω

2.2 Να υπολογιστεί η ένταση του  ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.

i=V/Req = 12/1=12Α

2.3. Να υπολογιστεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει κάθε  αντιστάτη

Αφου η ταση είναι κοινη
i1=V/R1 = 12/2=6A
i2=V/R2 = 12/3=4A
i3=V/R3 = 12/6=2A
Εύκολα βλέπουμε την εφαρμογή του 1ου Κανόνα του Kirchhoff για τις εντάσεις των ρευμάτων
Σi=0 ή i-i1-i2-i3=0 ή 12-6-4-2=0 ή 0=0

Από τα προηγούμενα μπορούμε να καταλάβουμε ότι στην σύνδεση σε σειρά προκύπτει ισοδύναμη αντίσταση η οποία είναι μεγαλύτερη και από τη μεγαλύτερη που διαθέτουμε
ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ Req>Rmax
και στην παράλληλη σύνδεση η ισοδύναμη αντίσταση που προκύπτει είναι μικρότερη και από την μικρότερη που διαθέτουμε
ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝΔΕΣΗ Req<Rmin

Γ. ΜΙΚΤΗ ΣΥΝΔΕΣΗ
Όταν έχουμε αντιστάσεις σε ένα κλειστό κύκλωμα, οι οποίες δεν είναι σε όλες σειρά ή παράλληλη σύνδεση τότε έχουμε μικτή σύνδεση και πρέπει να ακολουθήσουμε την παρακάτω διαδικασία επίλυσης
Εστω το διπλανό κύκλωμα με τρείς αντιστάτες R1 ,R2 ,R3 και πηγή πολικής τάσης V.

Σχεδιάζουμε τα ρεύματα που διαρρέουν το κύκλωμα και παρατηρούμε ότι οι αντιστάσεις R 1 ,R2 έχουν κοινά άκρα ,συνεπώς είναι συνδεδεμένες παράλληλα ,και η ισοδύναμη τους είναι σε σειρά με τη R3 
Bρίσκουμε πρώτα την ισοδύναμη των R1 ,R2 την οποία μπορούμε να ονομάσουμε R1,2
R 1,2 =(1/R 1 +1/R 2 ) -1

Βλέπουμε κατόπιν ότι η R3 με την R 1,2 είναι συνδεδεμένες σε σειρά
έτσι η R eq = R1,2 + R3

 ή
Req =(1/R1 +1/R2 )-1 + R3

Από το ισοδύναμο τελικό κύκλωμα ,μπορούμε να υπολογίσουμε την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος που διαρρέει την πηγή
i=V/R eq ή
i=V/ [(1/R 1 +1/R 2 ) -1 + R 3 ] ή
i=V[(1/R 1 +1/R2 )-1 + R3 ]-1

Οι εντάσεις των ρευμάτων i 1 ,i 2 που διαρρέουν τις αντιστάσεις R 1 και R 2 αντίστοιχα μπορούν να υπολογιστούν αφού πρώτα  υπολογίσουμε την διαφορά δυναμικού V ΑΒ
Ετσι από το δεύτερο κύκλωμα
V AB =iR 1,2 ή V AB =i(1/R 1 +1/R 2 ) -1
έτσι
i 1 =V AB /R 1 ή i 1 = i(1/R 1 +1/R 2 ) -1 /R1 ή i 1 = i(1/R 1 +1/R 2 ) -1 R 1 -1 ή i 1 =V[(1/R 1 +1/R 2 ) -1 + R 3 ] -1 (1/R 1 +1/R2 )-1 R1-1
και
i 2 =V AB /R 2 ή i 2 = i(1/R 1 +1/R 2 ) -1 /R 2 ή i 2 = i(1/R 1 +1/R 2 ) -1 R2-1 ή i 2 =V[(1/R 1 +1/R 2 )-1 + R 3 ] -1 (1/R 1 +1/R 2 )-1 R 2-1

5. Δύο αντιστάτες R1 = 40Ω και R2 = 20Ω ,συνδέονται σε σειρά, και στα άκρα του συστήματος εφαρμόζεται τάση V = 120V. 

6. Δύο αντιστάτες R1 = 30Ω και R2 = 60Ω συνδέονται παράλληλα, και στα άκρα τους εφαρμόζεται τάση V = 180V τοτε 

7.Αντιστάτες R1 και R2 =6Ω συνδέονται παράλληλα ,και στα κοινα άκρα τους εφαρμόζεται τάση V = 12V.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ ΤΙΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΙΣ
Για τα παρακάτω κυκλώματα δίνεται οτι R1=10Ω ,R2=10Ω ,R3=5Ω ,R4=10Ω ,R5=10Ω και R6=10Ω .