ΙΣΟΔΥΝΑΜΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΣΕ ΑΠΛΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ

ΣΥΝΔΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΤΩΝ
Σε ένα κλειστό κύκλωμα μπορούμε να συνδέσουμε αντιστάσεις με διάφορους τρόπους. Οι αντιστάσεις αυτές μπορούν να αντικατασταθούν από μια αντίσταση η οποία επιφέρει στο κύκλωμα το ίδιο αποτέλεσμα ,δηλαδή περνά από την πηγή ρεύμα ίδιας έντασης .Η διαδικασία αντικατάστασης όλων των αντιστάσεων αυτών, ονομάζεται σύνθεση αντιστάσεων και η αντίσταση που τις αντικαθιστά ισοδύναμη αντίσταση Req.


Α. ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ
Δύο η περισσότερες αντιστάσεις είναι σε σειρά , όταν διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα .Δηλαδή στο τέλος της μιάς ,ακολουθεί η αρχή της άλλης, χωρίς να παρεμβάλλεται τίποτα άλλο ανάμεσα τους .


Alternative text for the image not set

Στο παραπάνω σχήμα έχουμε Ν αντιστάσεις σε σειρά ,στα άκρα των οποίων εφαρμόζουμε τάση VΚΛ (πολική),ενώ τα καλώδια θεωρούμε ότι είναι μηδενικής αντίστασης.
Ισχύει   VA-VB=iR1
             VΒ-VΓ=iR2
             ………………
            VΕ-VΖ=iRΝ
Αθρόιζοντας έχουμε, VA-VB+VB-VΓ+VΓ……….-VE+VE-VZ=iR1+iR2+…+iRN ή
 VA-VZ= i(R1+R2+…+RN) (1)

Έαν τωρα στο τμήμα ΑΖ θεωρήσουμε μια αντίσταση Req ,που όταν εφαρμόσουμε στα άκρα της την ίδια τάση VΚΛ ,θα διαρρέει την πηγή το ίδιο ρεύμα i ,θα έχουμε VΑ-VZ=iReq(2)
από (1),(2) είναι προφανές ότι
Req=R1+R2+…+RN ή Req=ΣRj από j=1 εως Ν
Επίσης ισχύει ότι
VK-VΛ=VA-VZ= VA+[ -VB+VB-VΓ+VΓ……….-VE+VE ] –VZ= VAB+VΒΓ+…VEZ ή
VKΛ=VAZ= VAB+VΒΓ+…VEZ
και i=VKΛ/ΣRj


Alternative text for the image not set

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1
Δύο αντιστάτες R1 = 10Ω και R2 = 20Ω συνδέονται σε σειρά και στα άκρα του συστήματος εφαρμόζεται τάση V = 60V. Να βρείτε:


Alternative text for the image not set

1.1. Την ισοδύναμη αντίσταση του συστήματος των 2 αντιστατών.

Σχεδιάζουμε το ισοδύναμο κύκλωμα και το ρεύμα πουτο διαρρέει ,αφου οι αντιστάσεις είναι σε σειρά θα έχουμε Req=ΣRj , j=1 έως 2 ή Req=R1+R2=30Ω

  Κάντε κλικ στην εικόνα

Σχεδιάζουμε το ρεύμα στο κύκλωμα (συμβατική φορά) ,απο τον θετικό στιν αρνητικό πόλο της πηγής

  Κάντε κλικ στην εικόνα

Οι αντιστάτες διαρρέονται απο το ίδιο ρεύμα

  Κάντε κλικ στην εικόνα

Aντικαθιστούμε τους 2 αντιστάτες R1 , R2  με τον ισοδύναμο Req

1.2 Την ένταση του ρεύματος που διαρρέει κάθε αντιστάτη.


Το ρεύμα είναι ίδιο , V=iReq ή i=V/Req ή i=2A


1.3. Την τάση στα άκρα κάθε αντιστάτη.


VR1=iR1=2.10=20V και VR2=iR2=2.20=40V


1.4. Πόσο φορτίο πέρασε από την R1 σε 1ns; σε πόσα ηλεκτρόνια αντιστοιχει;

Είναι i=q/Δt ή q=iΔt ή q=2.10-9C και q=Ne|e| ή Ne=q/|e| ή Νe=2.10-9/1,6.10-19 =1,25.1010 = 125.108 ηλεκτρόνια


Alternative text for the image not set

v1

ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝΔΕΣΗ

Β. ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝΔΕΣΗ
Ένα σύνολο αντιστάσεων είναι συνδεδεμένες παράλληλα, όταν έχουν κοινά ακρα ,αυτό σημαινεί αυτοματα ότι θα έχουν και την ίδια τάση στα άκρα τους.
Εστω Ν αντιστάσεις R1,R2,..,RN οι οποιες συνδεόνται ώστε να εχουν κοινα ακρα Ζ,Μ στα οποια εφαρμόζουμε τάση VAB


Alternative text for the image not set

Από τον 1ο Κανόνα του Κirchhoff ,άμεση συνέπεια διατήρησης του φορτιου,
στον κόμβο Z έχουμε.
Σi=0 ή i-i1-i2-…-iN=0 ή i=i1+i2+…iΝ ή
i=VZM/R1 + VZM/R2 + … + VZM/RN ή
i=VZM( 1/R1+1/R2+…+1/RN) ή
i=VZMΣRj-1 με j=1 έως Ν και VΖΜ=VAB (1)


εάν αντικαταστήσουμε όλες τις αντιστάσεις, με μία Req ,η οποία
να διαρρέεται από το ιδιο ρεύμα i ,που περνάει από την πηγή
θα ισχυει i=VZM/Req ή i=VZMReq-1 (2)
ετσι προκυπτει ότι από (1) ,(2) ότι
Req-1=ΣRj-1 ή Req=(ΣRj-1)-1
Αναπτύσσοντας
1/Req= 1/R1 + 1/R2 +…+1/RN ή
Req=( 1/R1 + 1/R2 +…+1/RN )-1
Καταληκτικά πρέπει να αναφέρουμε ότι 1/R εκφραζει
την αγωγιμότητα ενός αγωγου.


Alternative text for the image not set

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2

Τρείς αντιστάτες R1 = 2Ω, R2 = 3Ω και R3 = 6Ω συνδέονται παράλληλα και στα άκρα τους εφαρμόζεται τάση V = 12Volt.


Alternative text for the image not set

2.1. Υπολογίστε την ισοδύναμη αντίσταση. 


Σχεδιάζουμε τις εντάσεις των ρευμάτων στο κύκλωμα  είναι
Req=( 1/R1 + 1/R2 +1/R3 )-1 ή
Req=( 1/2 + 1/3 +1/6 )-1 ή
Req=( 1/2 + 1/3 +1/6 )-1 = (6/6)-1=1Ω


  Κάντε κλικ στην εικόνα

Σχεδιάζουμε τις εντάσεις των ρευμάτων στο κύκλωμα


  Κάντε κλικ στην εικόνα

οι τρείς αντιστάτες είναι συνδεδεμένοι παράλληλα

  Κάντε κλικ στην εικόνα

Aντικαθιστούμε με την ισοδύναμη Req

2.2 Να υπολογιστεί η ένταση του  ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.


i=V/Req = 12/1=12Α


2.3. Να υπολογιστεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει κάθε  αντιστάτη

Αφου η ταση είναι κοινη
i1=V/R1 = 12/2=6A
i2=V/R2 = 12/3=4A
i3=V/R3 = 12/6=2A
Εύκολα βλέπουμε την εφαρμογή του 1ου Κανόνα του Kirchhoff για τις εντάσεις των ρευμάτων
Σi=0 ή i-i1-i2-i3=0 ή 12-6-4-2=0 ή 0=0

M

Alternative text for the image not set

Από τα προηγούμενα μπορούμε να καταλάβουμε ότι στην σύνδεση σε σειρά προκύπτει ισοδύναμη αντίσταση η οποία είναι μεγαλύτερη και από τη μεγαλύτερη που διαθέτουμε
ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ Req>Rmax
και στην παράλληλη σύνδεση η ισοδύναμη αντίσταση που προκύπτει είναι μικρότερη και από την μικρότερη που διαθέτουμε
ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝΔΕΣΗ Req<Rmin


ΜΙΚΤΗ ΣΥΝΔΕΣΗ

Γ. ΜΙΚΤΗ ΣΥΝΔΕΣΗ
Όταν έχουμε αντιστάσεις σε ένα κλειστό κύκλωμα, οι οποίες δεν είναι σε όλες σειρά ή παράλληλη σύνδεση τότε έχουμε μικτή σύνδεση και πρέπει να ακολουθήσουμε την παρακάτω διαδικασία επίλυσης
Εστω το διπλανό κύκλωμα με τρείς αντιστάτες R1 ,R2 ,R3 και πηγή πολικής τάσης V.


Alternative text for the image not set

Σχεδιάζουμε τα ρεύματα που διαρρέουν το κύκλωμα και παρατηρούμε ότι οι αντιστάσεις R 1 ,R2 έχουν κοινά άκρα ,συνεπώς είναι συνδεδεμένες παράλληλα ,και η ισοδύναμη τους είναι σε σειρά με τη R3 
Bρίσκουμε πρώτα την ισοδύναμη των R1 ,R2 την οποία μπορούμε να ονομάσουμε R1,2
R 1,2 =(1/R 1 +1/R 2 ) -1



  Κάντε κλικ στην εικόνα

Σχεδιάζουμε τις εντάσεις των ρευμάτων συο κύκλωμα

  Κάντε κλικ στην εικόνα

R1 ,R2 είναι συνδεδεμένες παράλληλα

  Κάντε κλικ στην εικόνα

R1,2 και R3 ειναι σε σειρά

Βλέπουμε κατόπιν ότι η R3 με την R 1,2 είναι συνδεδεμένες σε σειρά
έτσι η R eq = R1,2 + R3

 ή
Req =(1/R1 +1/R2 )-1 + R3

  Κάντε κλικ στο σχήμα

Από το ισοδύναμο τελικό κύκλωμα ,μπορούμε να υπολογίσουμε την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος που διαρρέει την πηγή
i=V/R eq ή
i=V/ [(1/R 1 +1/R 2 ) -1 + R 3 ] ή
i=V[(1/R 1 +1/R2 )-1 + R3 ]-1

ΜΙΚΤΗ ΣΥΝΔΕΣΗ

Οι εντάσεις των ρευμάτων i 1 ,i 2 που διαρρέουν τις αντιστάσεις R 1 και R 2 αντίστοιχα μπορούν να υπολογιστούν αφού πρώτα  υπολογίσουμε την διαφορά δυναμικού V ΑΒ
Ετσι από το δεύτερο κύκλωμα
V AB =iR 1,2 ή V AB =i(1/R 1 +1/R 2 ) -1
έτσι
i 1 =V AB /R 1 ή i 1 = i(1/R 1 +1/R 2 ) -1 /R1 ή i 1 = i(1/R 1 +1/R 2 ) -1 R 1 -1 ή i 1 =V[(1/R 1 +1/R 2 ) -1 + R 3 ] -1 (1/R 1 +1/R2 )-1 R1-1
και
i 2 =V AB /R 2 ή i 2 = i(1/R 1 +1/R 2 ) -1 /R 2 ή i 2 = i(1/R 1 +1/R 2 ) -1 R2-1 ή i 2 =V[(1/R 1 +1/R 2 )-1 + R 3 ] -1 (1/R 1 +1/R 2 )-1 R 2-1


ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

 Κάντε κλικ στην σωστή επιλογή

1. Δυο αντιστάτες R1 και R2 συνδέονται σε σειρά, τοτε

Alternative text for the image not set

 Κάντε κλικ στην σωστή επιλογή

2. Δυο αντιστάτες R1 και R2 συνδέονται παράλληλα ,τοτε

Alternative text for the image not set

 Κάντε κλικ στην σωστή επιλογή

3. Όταν συνδέουμε αντιστάτες σε σειρά, η ολική ένταση του ρεύματος

Alternative text for the image not set

 Κάντε κλικ στην σωστή επιλογή

4. Όταν συνδέουμε αντιστάτες παράλληλα, η ολική ένταση του ρεύματος:

Alternative text for the image not set

5. Δύο αντιστάτες R1 = 40Ω και R2 = 20Ω ,συνδέονται σε σειρά, και στα άκρα του συστήματος εφαρμόζεται τάση V = 120V. 

Alternative text for the image not set

 Κάντε κλικ στην σωστή επιλογή

5.1 Η ισοδύναμη αντίσταση του συστήματος των 2 αντιστατών είναι

Alternative text for the image not set

 Κάντε κλικ στην σωστή επιλογή

5.2 Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει κάθε αντιστάτη ειναι .

Alternative text for the image not set

 Κάντε κλικ στην σωστή επιλογή

5.3 Οι τάσεις στα άκρα των αντιστατών R1 και R2 είναι αντίστοιχα

Alternative text for the image not set

6. Δύο αντιστάτες R1 = 30Ω και R2 = 60Ω συνδέονται παράλληλα, και στα άκρα τους εφαρμόζεται τάση V = 180V τοτε 

 Κάντε κλικ στην σωστή επιλογή

6.1 Η ισοδύναμη αντίστασή τους είναι .

Alternative text for the image not set

 Κάντε κλικ στην σωστή επιλογή

6.2 Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την πηγή είναι

Alternative text for the image not set

 Κάντε κλικ στην σωστή επιλογή

6.3 Οι εντάσεις των ρευμάτων που διαρρέουν τους αντιστάτες R1 και R2 αντίστοιχα, ειναι.

Alternative text for the image not set

7.Αντιστάτες R1 και R2 =6Ω συνδέονται παράλληλα ,και στα κοινα άκρα τους εφαρμόζεται τάση V = 12V.

 Κάντε κλικ στην σωστή επιλογή

7.1 Αν οι αντιστάτες διαρρέονται από ρεύματα ίσης έντασης ,τοτε η τιμή της R1 είναι

Alternative text for the image not set

 Κάντε κλικ στην σωστή επιλογή

7.2 H ολική αντίσταση του κυκλώματος , ισουται με

Alternative text for the image not set

 Κάντε κλικ στην σωστή επιλογή

7.3 Η ένταση του ρεύματος που διαρρεει την πηγη ισουται με

Alternative text for the image not set

 Κάντε κλικ στην σωστή επιλογή

8. Πόσοι όμοιοι αντιστάτες R = 100Ω ,πρέπει να συνδεθούν σε σειρα υπό τάση V = 600V, ωστε ο ρυθμός μεταβολής του φορτίου στο κύκλωμα να είναι 1C/s

Alternative text for the image not set

 Κάντε κλικ στην σωστή επιλογή

9. Τρείς αντιστάτες R1 = 4Ω, R2 = 4Ω και R3 = 8Ω συνδέονται παράλληλα. Αν ο αντιστάτης R1 διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι1 = 4Α, τοτε η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την ισοδύναμη των αντιστάσεων είναι

Alternative text for the image not set

 Κάντε κλικ στην σωστή επιλογή

Δύο αντιστάτες R1 και R2 συνδέονται σε σειρά ,και ο λογος των διαφορων δυναμικου στα ακρα τους είναι, V1/V2=5 , τότε ο λογος των αντιστάσεων R1/R2 ισούται με.

Alternative text for the image not set

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ ΤΙΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΙΣ
Για τα παρακάτω κυκλώματα δίνεται οτι R1=10Ω ,R2=10Ω ,R3=5Ω ,R4=10Ω ,R5=10Ω και R6=10Ω .

 Ταιριάξτε κάθε εικόνα με το κείμενο της

Matching pairs activity with 4 pairs